Поняття про наближення функцій




Скачати 170.12 Kb.
НазваПоняття про наближення функцій
Сторінка2/3
Дата30.04.2013
Розмір170.12 Kb.
ТипДокументы
nauch.com.ua > Математика > Документы
1   2   3

Інтерполяція


Під апроксимацією розуміють операцію знаходження невідомих чисельних значень якоїсь величини за відомими її значеннями і чисельними значеннями інших величин, які пов’язані з розглядуваною.

Інтерполяція - частковий випадок апроксимації. Нехай в точках х0, х1, х2, … , хn відомі значення f(x0), f(x1), f(x2)… f(xn) деякої функції f(x). Потрібно відновити функцію f(x) при інших значеннях ххі (і = 0, 1, 2, … , n). У цьому випадку будують достатньо просту для обчислення функцію φ(х), яка в заданих точках х0, х1, х2, … , хn приймає значення f(x0), f(x1), f(x2), …, f(xn), а в решті точках відрізку [a, b] (область визначення f(x) ), наближено представляє f(x) з деякою точністю. Задача побудови φ(х) називається задачею інтерполювання. Найчастіше інтерполюючу функцію φ(х) виражають через алгебраїчний многочлен деякої степені n.

Якщо аргумент х знаходиться зовні відрізку [a, b], то поставлена задача називається екстраполюванням (екстраполяція).

Інтерполяція в цьому випадку називається алгебраїчною. Алгебраїчне інтерполювання функції y = f(x) на відрізку [a, b] полягає в наближеній заміні цієї функції на даному відрізку многочленом Рn(х) степені n, тобто

f(x) ≈ Рn(х), (1)

причому в точках х0, х1, х2, … , хn, f(xі) = Рn(хі), (і=).

Відмітимо, що двох різних інтерполяційних многочленів одної й тої ж степені n існувати не може. Якщо вважати протилежне, приходимо до висновку, що різниця двох таких многочленів, що є многочленом степені не вище n, має n + 1 корінь, а отже тотожно дорівнює нулю.

^

Інтерполяційний поліном Лагранжа


Поставимо задачу: знайти многочлен степені Рn(x) степені n, котрий в n + 1 даних точках х0, х1, х2, … , хn (ці точки називаються вузлами інтерполяції) приймає дані значення у0, у1, … , уn.

Для побудови Рn(х) спочатку розглянемо допоміжні (іноді їх називають фундаментальні) многочлени Qnk(х), тобто многочлени n-ї степені відносно х, котрі задовільняють таким умовам:

при , (к=).
Ця властивість означає, що, наприклад, многочлен Qn0(x) приймає в точці х0 значення, рівне одиниці, а в решті вузлів – нуль; многочлен Qn1(x) в вузлі х1 приймає значення 1, а в решті – нуль і т. д. В загальному випадку многочлен Qnі(x) в вузлі хі приймає значення 1, а в решті вузлів 0. Тоді шуканий многочлен:

Рn(x) = y0Qn0(x) + y1Qn1(x) + y2Qn2(x) + … + ynQnn(x) (2).

Оскільки х0, х1, х2, … , хк-1, хк+1, … , хn – нулі многочлена Qnk(x), то

Qnk(x) = ck(x – x0)(xx1)(xx2) … (xxk-1)(xxk+1) … (xxn)

(це просто інша форма запису полінома степені n).

Визначаючи ск з умови Qnk(xк) = 1, одержимо вираз для ск (замість х підставляємо хк)

(2)

Тоді явний вираз для допоміжних многочленів

(3)

Формула (2) з врахуванням (3) приймає вигляд :

(4)

Многочлен, що визначається за формулою (4) називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а допоміжні многочлени (3) – коефіцієнтами Лагранжа.

Введемо позначення



Розглянемо похідну в точці хк



Звідси





Розглянемо інтерполяційну формулу Лагранжа для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції, тобто х1 х0 = х2 х1 =…= xn xn-1 = h. Зробимо заміну x = ht + x0, тоді

t0 = 0; t1 = 1; t2 = 2; … tn = n

x xk = h(t k), (x)=nn+1*(t)

*(t) = t(t – 1)(t – 2) … (t n)

'(xk) = (–1)n-kk!(n – k)!hn

f(x) = f(ht + x0)  t(t – 1)(t – 2) … (tn)*
Приклад.

Знайти інтерполяційний многочлен Лагранжа для функції, заданої таблицею

хі

-3

-1

1

2

уі

8

6

4

18


При n=3, формула (4) приймає вигляд



Підставляючи значення хк та ук (к=).



P3(x)=x3+3x2-2x+2


Інтерполяційний поліном Ньютона

Інтерполяційна формула Лагранжа має два суттєвих недоліки:

  1. формула громіздка- кожен доданок є многочленом n-го степеня;

  2. якщо з якоїсь причини додаються вузли інтерполювання (наприклад, якщо отримана інтерполяційна формула неточна), то всі обчислення необхідно повторювати знову – ні один із доданків формули Лагранжа не зберігається.

Розглянем форму запису інтерполяційного полінома Рn(х), яка допускає уточнення результатів інтерполяції послідовним додаванням нових вузлів. При цьому будем використовувати таке поняття як розділені різниці функцій.

Нехай маємо функцію f(x) і не обов"язково рівновіддалені вузли інтерполяції хі (і=0, 1, 2, … , n).

Розділеними різницями 1-го порядку називають величини, які мають зміст, наприклад, середніх швидкостей зміни функції:

(5)

Розділені різниці другого порядку визначаються співвідношеннями

(6)

Аналогічно, розділена різниця k−го порядку визначається через розділені різниці (k−1) порядку за рекурентною формулою:

(7)

Тепер перейдемо безпосередньо до самого інтерполяційного полінома Ньютона.

Маєм, наприклад, один вузол інтерполяції х0.

Виходячи із визначення розділеної різниці 1−го порядку f(x; x0) маємо:





Для розділених різниць другого порядку (два вузли − х0, х1)



Підставляючи це значення у формулу для f(x)



Повторюючи цей процес, отримаємо (для n+1 вузлів інтерполяції):

(8)

Оскільки Рn(x) − інтерполяційний поліном для функції f(x), то його значення у вузлах інтерполяції співпадають із значеннями функції f(x) (а, значить, і співпадають і розділені різниці)

Рn(xі) = f(xі) = уі, (і=),

оскільки залишковий член в цих вузлах



(х приймає значення х0, х1, … , хn, тому один із співмножників завжди рівний 0, через те залишковий член у вузлах інтерполяції дорівнює нулю).

Тому замість (8) можна записати

(9)

Це і є інтерполяційний поліном Ньютона з розділеними різницями.

Для того, щоб пересвідчитись, що інтерполяційний поліном приймає значення уі в вузлах інтерполяції хі, візьмемо два вузли х0 та х1

n = 2 f(x) = y0 + (x x0)f( x0 ; x1) + (x x0)(x x1)f(x; x0; x1)

При x = x1

f(x1) = y0 + (x1 x0)(f(x1) − f(x0))/(x1 x0) = у0 + f(x1) – f(x0);

f(x1) = f(x1)

Якщо маєм чотири вузли інтерполяції (n=3), то поліном Ньютона має вигляд:

Pn(x) = y0 + (xx0)f(x0; x1) + (x x0)(xx1)f(x0; x1; x2) +

+ (x x0)(xx1)(xx2)f(x0; x1; x2; x3)

Якщо ж маєм вже шість вузлів, тобто n=5, то йде просте нарощу-вання формули:

Pn(x) = y0 + (xx0)f(x0; x1) + (xx0)(xx1)f(x0; x1; x2) +

+ (xx0)(xx1)(xx2)f(x0; x1; x2; x3) +

+ (xx0)(xx1)(xx2)(хх3)f(x0; x1; x2; x3; x4) +

+ (xx0)(xx1)(xx2)(хх3)(х − х4)f(x0; x1; x2; x3; x4; x5).

Приклад.

Знайти інтерполяційний поліном Ньютона:

х −3 −1 1 2

у 8 6 4 18 При n = 3 інтерполяційний поліном Ньютона буде мати вигляд:

Pn(x) = y0 + (xx0)f(x0; x1) + (xx0)(xx1)f(x0; x1; x2) +

+ (xx0)(xx1)(xx2)f(x0; x1; x2; x3)

j

xj

yj

k=1

k=2

k=3

0

х0 = −3

y0 = 8








0






1

x1 = −1

y1 = 6

2

x2 = 1

y2 = 4

3

x3 = 2

y3 = 18


Р3(х) = 8 + (х + 3)(−1) + (х + 3)(х + 1)*0 + (х + 3)(х + 1)(х − 1)*1=

= 8 − х − 3 + (х + 3)(х2 − 1) = 5 − х + х3 + 3х2 х − 3 =

= х3 + 3х2 − 2х + 2

Перш ніж приступати до заповнення таблиці, розпишемо розділені різниці

Розділені різниці 1−го порядку



Розділені різниці 2−го порядку





Розділені різниці 3−го порядку



При написанні програми будемо користуватися наступним алгоритмом: позначимо через k – порядок розділених різниць (– межі зміни k, де n – порядок (найвищий) інтерполюючого полінома), а через і – число розділених різниць (– межі зміни і) для даного порядку k.

k=1 збереглося



k=2

k=3

– кількість штрихів – це порядок

k = 1 до n

Для і = 0 до n ввести значення хі, уі

Для k = 1 до n

Для і = n до k з кроком –1

уі = (уі уі–1)/( хіхі–1)

Тоді відповідно збережуться у0, у1΄, у2΄΄, у3΄΄΄





Інтерполяція функції у = |x – 5| з допомогою полінома Ньютона на 6-10 точках.
1   2   3

Схожі:

Поняття про наближення функцій iconЗагальні питання наближення функцій
Ефективність чисельного алгоритму може у великій мірі залежати від способу наближення шуканого розв’язку. Теорія наближень оформилась...
Поняття про наближення функцій icon) задана своїми значеннями в (
Похибка такого наближення може виявитися значною. Крім того, таке наближення неможливе у тих випадках, коли важливе значення має...
Поняття про наближення функцій iconУроку – Монотонність та парність функції
Дидактична – повторити та узагальнити знання про такі властивості функцій, як проміжки зростання та проміжки спадання функцій; сформувати...
Поняття про наближення функцій iconУроку–Властивості І графіки функцій
Дидактична –ввести поняття періодичної функції, найменшого додатного періоду. Формувати вміння будувати графіки тригонометричних...
Поняття про наближення функцій icon4 Поняття І класифікація функцій менеджменту
Основні терміни й поняття: функція менеджменту, планування, організація, мотивація, контроль, спеціальні функції
Поняття про наближення функцій iconУрок узагальнення
Учень повинен знати: початкові поняття про християнську віру, ікону, божий храм, елементарні правила поведінки у храмі, поняття про...
Поняття про наближення функцій iconУроку – Множина натуральних, цілих І раціональних чисел. Ірраціональні...
Дидактична узагальнити знання про множини натуральних, цілих І раціональних, дійсних, ірраціональних чисел; десяткове наближення...
Поняття про наближення функцій iconУроку – Обернена функція, складена функція
Дидактична домогтися розуміння, яка функція може бути оборотною; сформувати поняття оберненої І складеної функцій; домогтися засвоєння...
Поняття про наближення функцій iconКурсова робота
Функціонально-вартісний аналіз – це метод комплексного техніко-економічного дослідження функцій об’єкта, призначений оптимізувати...
Поняття про наближення функцій iconУроку–Графік функції
Дидактична –узагальнити знання щодо основних видів функцій, їх властивостей та графіків; сформувати вміння відтворювати властивості...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
nauch.com.ua
Головна сторінка