Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф




Скачати 182.86 Kb.
НазваТема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф
Сторінка1/2
Дата22.05.2013
Розмір182.86 Kb.
ТипКурс лекцій
nauch.com.ua > Математика > Курс лекцій
  1   2
© Ваврук Є.Я.

Курс лекцій "Проектування комп’ютерних засобів обробки сигналів та зображень"

Тема 11

Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом ДПФ

Питання.
1. Загальні поняття про гармонійну обробку

2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ

3. Просочування спектральних складових

4. Вікна та їх основні параметри

- еквівалентна шумова смуга

- підсилення і втрати перетворення

- кореляція ділянок, що перекриваються

- паразитна амплітудна модуляція спектру

- максимальні втрати перетворення

- мінімальна допустима смуга частот
1. Загальні поняття про гармонійну обробку

При обробці сигналів доводиться вирішувати задачі двох типів — задачу виявлення і оцінювання. При виявленні потрібно дати відповідь на питання, чи спостерігається зараз деякий сигнал з апріорно відомими параметрами. Оцінювання - це задача вимірювання значень параметрів, що описують сигнал. Реальний сигнал є зачумленим: на нього накладаються інші сигнали. Тому для спрощення розв’язання вказаних задач сигнал звичайно розкладають по базисних складових. Для багатьох додатків найбільший інтерес представляють періодичні сигнали. Цілком природно, що рішення задач виявлення і оцінювання подібних сигналів пов'язано з їх розкладанням по базису, що складається з простих періодичних функцій sin і cos. Таке розкладання можна виконати за допомогою класичного перетворення Фур’є.

Необхідно пам’ятати, що при реалізації такого перетворенню вважається, що кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти і регулювати, але вона обов'язково повинна бути кінцевою. При обробці сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які необхідно враховувати в ході гармонійного аналізу. Кінець інтервалу спостереження впливає _на знаходження тонів у присутності близьких сильних тонів, на знаходження тонів змінної частоти і на точність оцінок параметрів всіх вищезазначених сигналів.

^ На практиці оброблюваний масив даних складається з N еквідістантних відліків прийнятого сигналу. Для зручності будемо вважати, що N - парне складове число. Гармонійні оцінки одержувані за допомогою дискретного перетворення Фур’є (ДПФ), це N еквідістантних відліків відповідних періодичних спектрів. Такий підхід математично витончений і привабливий, коли схема _обробки сигналу реалізується як спектральне розкладання в N-мірному ортогональному векторному просторі. На жаль, на практиці для отримання задовільних результатів часто доводиться жертвувати цією витонченістю. Один з неминучих в таких випадках компромісів пов'язаний з тим, що послідовність відліків сигналу доводиться множити на вагові функції (вікна) або, що еквівалентно, згладжувати спектральні відліки.

Таким чином, дані звичайно піддаються двом виконуваним в довільному порядку операціям дискретизації і згладжуванню за допомогою вікон. Що таке дискретизація і згладжування даних за допомогою вікон, достатньо добре знають всі, а ось що таке дискретні вікна для ДПФ, відомо лише небагатьом! Тому ми і звернемося до чинників, що визначають вибір вікон для гармонійного аналізу, надавши особливу увагу дискретним вікнам, використовуваним при ДПФ.
^ 2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ

Гармонійний аналіз кінцевих послідовностей даних пов'язаний із задачею проекції спостережуваного сигналу на базисні вектори, на які накладається інтервал спостереження. Введемо позначення, які знадобляться нам в наступних розділах. Нехай Т (сек) – часовий інтервал, NT (сек) – інтервал часу спостереження. Синуси і косинуси з періодами,


Рис 1. ^ N відліки парної функції на інтервалі NT секунд
кратними інтервалу NT, утворюють ортогональний базис для безперервних сигналів тривалістю NТ. Базисні функції визначаються як
(1)

Зауважимо, що, припустивши набір базисних функцій з впорядкованим індексом k, ми тим самим визначили спектр сигналу над лінією, званою частотною віссю, з якого далі виводяться поняття ширини смуги частот і частот, близьких і далеких від даної частоти (ці поняття пов'язані з роздільною здатністю).

Для дискретизованих сигналів базис, що стягує інтервал NT, ідентичний послідовності еквідістантних відліків векторів відповідного безперервного базису з індексами від 0 до N/2:

(2)

Відзначимо, що тригонометричні функції унікальні в тому відношенні, що послідовності їх еквідістантних відліків (на інтервалі, рівному цілому числу періодів) взаємно ортогональні.

Еквідістантні відліки довільних ортогональних функцій не утворюють ортогональних послідовностей. Відзначимо також, що часовий інтервал, займаний N відліками, узятими через Т секунд, нерівний NT секундам. Це легко зрозуміти, якщо врахувати той факт, що інтервал, на якому беруться відліки, замкнутий зліва і відкритий справа (тобто [—)). Рис. 1 ілюструє цю обставину на прикладі дискретизації парної щодо центру інтервалу функції тривалістю NТ сек.

Оскільки для ДПФ потрібна періодичність ряду, опущену останню точку послідовності можна вважати початковою точкою наступного періоду періодичного продовження цієї послідовності. Дійсно, при періодичному, продовженні наступний відлік (на 16-й секунді на рис. 1) не відрізняється від відліку в нульовий момент часу.

Вказане порушення симетрії через відсутню кінцеву точку є постійним джерелом помилок при виборі типу вживаного вікна. Ці помилки сходять до ранніх робіт, присвячених збіжності часткових сум рядів Фур’є. Часткові суми (або кінцеве перетворення Фур’є) завжди мають непарне число членів і володіють парною симетрією щодо початкової точки. Тому в бібліотеки стандартних програм включені вікна, що володіють істинною парною симетрією, а не симетрією з опущеною кінцевою точкою!

При обчисленні ДПФ дискретних даних слід пам’ятати, що парна симетрія означає, що проекція сигналу на послідовність відліків синуса тотожно рівна нулю. Але це ні в якому разі не означає, що числа відліків, розташованих справа і зліва від середньої точки, обов'язково рівні один одному. Щоб відрізняти цю симетрію від звичайної парності, будемо називати звичайну парну послідовність з опущеною крайньою правою точкою ДПФ-парною. Іншим прикладом ДПФ-парної послідовності є послідовність відліків періодично продовженої трикутної хвилі (рис. 2).


Рис. 2. ^ Парна послідовність і її періодичне продовження при обчисленні ДПФ

Якщо обчислити кінцеве перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності (рахуючи відлік в точці +N/2 рівним 0), то отримана безперервна періодична функція буде мати ненульову уявну компоненту. ДПФ тій же самій послідовності - це не що інше, як ряд відліків кінцевого перетворення Фур’є, проте уявна компоненту цих відліків тотожно рівна нулю. В чому причина цієї невідповідності? Не треба забувати, що відсутність в ДПФ-парному ряді кінцевої точки приводить до появи в кінцевому перетворенні уявної синусоїдальній компоненти з періодом 22π/(N/2) (відповідної непарному члену послідовності з номером N/2). Проте відліки ДПФ беруться в точках, кратних 22 π /N, які, звичайно, відповідають нулям уявної синусоїдальній компоненти. Приклад такої вдалої дискретизації показаний на мал. 3.

Відзначимо, що послідовність f(n) розбита на парну і непарну частини. Непарна частина і обумовлює появу уявній синусоїдальній компоненти в кінцевому перетворенні.



Рис 3. ДПФ як послідовність обчислень кінцевого перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності
3. Просочування спектральних складових

Вибір кінцевого часового інтервалу тривалістю NT секунд і ортогонального тригонометричного базису (безперервного або дискретного) на цьому інтервалі обумовлює цікаву особливість спектрального розкладання. 3 множини можливих частот тільки співпадаючі з частотами базису будуть проектуватися на єдиний базисний вектор, а вся решта частот буде мати ненульові проекції на будь-який з векторів базисної множини. Це явище, яке звичайно називають розмиванням або просочуванням спектральних складових (spectral leakage), виникає через кінцеву тривалість оброблюваних записів. Хоча частота відліків і впливає на ступінь розмивання, сама по собі дискретизація не є його причиною.

Щоб інтуїтивно зрозуміти причину розмивання, достатньо помітити, що сигнали з частотами, відмінними від базисних, неперіодичні у вікні спостереження. Якщо природний період сигналу несумірний з тривалістю інтервалу спостереження, періодичне продовження сигналу буде мати розриви на межах інтервалу. Ці розриви дають спектральні внески на всіх базисних частотах (тобто відбувається розмивання). Види виникаючих розривів ілюструє рис. 4.



^ Рис. 4. На проміжку спостереження періодичне продовження синусоїди неперіодичне
Вікна представляють собою вагові функції, використовувані для зменшення розмивання спектральних компонент, обумовленого кінці вістю інтервалів спостереження. Так, можна вважати, що дія вікна на масив даних (як мультиплікативної вагової функції) полягає у зменшенні порядку розриву на межі періодичного продовження. Цього добиваються, погоджуючи на межі якомога більше число похідних зважених даних. Простіше всього забезпечити таке узгодження зробивши ці похідні рівними або принаймні близькими до нуля. Таким чином, поблизу меж інтервалу зважені дані плавно прямують до нуля, так що періодичне продовження сигналу виявляється безперервним аж до похідних вищих порядків.

З другого боку, можна вважати, що вікно мультиплікативно впливає на базисну множину так, щоб сигнал довільної частоти мав значні проекції тільки на ті базисні вектори, частоти яких близькі до частоти сигналу. Обидва підходи ведуть до однакових результатів.

^ 4. Вікна та їх основні властивості.

В гармонійному аналізі вікна використовуються для зменшення небажаних ефектів просочування спектральних складових. Вікна впливають на багато показників гармонійного процесора, у тому числі на можливість виявлення, роздільну здатність, динамічний діапазон, ступінь достовірності і простоту реалізації обчислювальних операцій. Щоб мати нагоду порівнювати характеристики вікон, необхідно знати, які з їх параметрів є основними. Найпростіше виявити найістотніші параметри, розглянувши, як впливають різні типи вікон на результати гармонійного аналізу.

Обмежений по смузі сигнал f(t) з перетворенням Фур’є F(ω) можна описати еквідістантною послідовністю відліків f (nT). Ця послідовність визначає періодично продовжений спектр NТ(ω) як його розкладання в ряд Фур’є.

Для машинної обробки в реальному масштабі часу послідовність даних повинна мати кінцеву тривалість, тому суму нескінченного ряду (3b) можна апроксимувати кінцевою сумою:


В (4а) легко впізнати кінцеве перетворення Фур’є; межі підсумовування тут вибрані задля зручностей, які дає, парна симетрія. Рівняння (4b) - - це кінцеве перетворення Фур’є з опущеною правою точкою, а (4с) — ДПФ, тобто ряд відліків спектру (4b). Бажано, звичайно, щоб при обробці реальних сигналів (для зручності застосування обчислювальних алгоритмів) індекси починалися з нуля. Цього можна добитися, зсовуючи початкову точку на N/2 точок вправо, тобто переходячи від (4с) до (4d). Рівняння (4d) — це пряме ДПФ. Втім, зсув індексу підсумовування на N/2 впливає лише на фазові кути перетворення, тому задля зручностей, обумовлених симетрією, будемо вважати, що всі вікна мають центр в початковій точці. Але потрібно пам'ятати, що ця зручність є основним джерелом неправильного застосування вікон. При обчисленні ДПФ за допомогою вікон зсув на N/2 точок і пов'язаний з ним фазовий зсув часто не враховують або враховують неправильно. Зокрема, це стається в тих випадках, коли множення на вагову функцію вікна в часовій області замінюється поєднанням спектру сигналу із спектром вікна (приклад -  вікно Хеннінга).

Тепер задамося питанням про те, наскільки точно сума кінцевого ряду (4b) апроксимує суму нескінченного ряду (3b). Фактично це питання торкається більш загального випадку довільного вікна, що впливає на деяку часову функцію (або часовий ряд):

(5)
Подивимося як впливає вікно на наші спектральні оцінки. З рівняння (5) видно, що перетворення Fw(ω) – це перетворення добутку. Згідно даному нижче рівнянню (6), перетворення добутку еквівалентно згортці двох відповідних перетворень

(6)

Рівняння (6) є ключем до розуміння впливу кінцевої довжини послідовності даних на результати їх обробки. Інтерпретувати його можна двояко, але обидві інтерпретації еквівалентні. Легше всього пояснити це на конкретному прикладі. Візьмемо дискретне прямокутне вікно ω(nT)=1,0. Ми знаємо, що W()це ядро Діріхле, що має вигляд:

(7)

Якщо не враховувати член, що характеризує лінійний фазовий зсув (який зміниться через зсув на N/2 точок, необхідного для реалізації обчислювального алгоритму), то один період цього перетворення буде мати форму, показану на рис 5



^ Рис 5. Ядро Діріхле для послідовності з N точок
Щодо формули (6) можна сказати, що величина Fw) на заданій частоті ω є сумою всіх спектральних гармонік, заздалегідь зважених спектральним вікном, з центром на частоті ωо (рис 6).



Рис 6. Графічна Інтерпретація рівняння (6). Вікно представлене у вигляді спектрального фільтра,
  1   2

Схожі:

Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconЛекція №7 Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconЛекція №12
При аналізі й синтезі систем дискретної обробки сигналів велике поширення одержало z – перетворення
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconЛекція 5 Тема: Діагностика І контроль процесорів І систем обробки сигналів та зображень
Особливості діагностики та контролю процесорів та систем обробки сигналів та зображень
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconТема: Діагностика І контроль процесорів І систем обробки сигналів та зображень
Особливості діагностики та контролю процесорів та систем обробки сигналів та зображень
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconТема: Діагностика І контроль процесорів І систем обробки сигналів та зображень
Особливості діагностики та контролю процесорів та систем обробки сигналів та зображень
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconТема Основні перетворення спектрів сигналів ( при зсуві в часі при...

Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconКурс, 10 семестр Тема 6 Реалізація алгоритмів обробки сигналів на пліс (С+М)
Вибір параметрів радіолокаційної станції, які впливають на характеристики засобів обробки
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconОсновні теоретичні відомості перетворення Фур’є та його використання...
Цифрова обробка сигналів І зображень” для студентів спеціальності 160102 “Захист інформації з обмеженим доступом та автоматизація...
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconЛекція: Структура модему, методи модуляції, стандарти І програмні засоби для модемів
Ункціональні вузли обробки І перетворення сигналів, з числа яких навмисно виключені деякі другорядні вузли, призначені для організації...
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф iconТема №8. Кореляційний аналіз детермінованих сигналів. Зв'язок між...
Кореляційний аналіз застосовується до детермінованих та випадкових сигналів (стохастичних) сигналів. Задані величини X та y треба...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
nauch.com.ua
Головна сторінка