І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов'язково повинна бути




Скачати 142.22 Kb.
НазваІ. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов'язково повинна бути
Сторінка1/2
Дата22.05.2013
Розмір142.22 Kb.
ТипДокументы
nauch.com.ua > Математика > Документы
  1   2
І. ВСТУП
Кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти і регулювати, але вона обов'язково повинна бути кінцевою. При обробці сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які необхідно враховувати в ході

гармонійного аналізу. Кінцівка інтервалу спостереження впливає _на знаходження тонів у присутності близьких сильних тонів, на знаходження тонів змінної частоти і на точність оцінок параметрів всіх вищезазначених сигналів.

На практиці оброблюваний масив даних складається з N еквідістантних відліків прийнятого сигналу. Для зручності будемо вважати, що N - парне складове число. Гармонійні оцінки одержувані за допомогою дискретного перетворення Фур’є (ДПФ), це N еквідістантних відліків відповідних періодичних спектрів. Такий підхід математично витончений і привабливий, коли схема _обробки сигналу реалізується як спектральне розкладання в N-мірному ортогональному векторному просторі [2]. На жаль, на практиці для отримання задовільних результатів часто доводиться жертвувати цією витонченістю. Один з неминучих в таких випадках компромісів пов'язаний з тим, що послідовність відліків сигналу доводиться множити на вагові функції (вікна) або, що еквівалентно, згладжувати спектральні відліки.

Таким чином, дані звичайно піддаються двом виконуваним в довільному порядку операціям дискретизації і згладжуванню за допомогою вікон. Що таке дискретизація і згладжування даних за допомогою вікон, достатньо добре знають всі, а ось що таке дискретні вікна для ДПФ, відомо лише небагатьом! Тому ми і звернемося до чинників, що визначають вибір вікон для гармонійного аналізу, надавши особливу увагу дискретним вікнам, використовуваним при ДПФ.

^ II. ГАРМОНІЙНИЙ АНАЛІЗ КІНЦЕВИХ МАСИВІВ ДАНИХ І ДПФ

Гармонійний аналіз кінцевих послідовностей даних пов'язаний із задачею проекції спостережуваного сигналу на базисні вектори, на які натягнуть інтервал спостереження [1,3]. Введемо позначення, які знадобляться нам в наступних розділах. Хай Т (сек) – зручний часовий інтервал, NT (сек) – інтервал часу спостереження. Синуси і косинуси з періодами,


Рис 1. ^ N відрахунку парної функції на інтервалі NT секунд
кратними інтервалу NT, утворюють ортогональний базис для безперервних сигналів тривалістю . Базисні функції визначаються як
(1)

Помітимо, що, припустивши набір базисних функцій з впорядкованим індексом k, ми тим самим визначили спектр сигналу над лінією, званою частотною віссю, з якого далі виводяться поняття ширини смуги частот і частот, близьких і далеких від даної частоти (ці поняття пов'язані з дозволом).

Для дискретизованих сигналів базис, що стягує інтервал NT, ідентичний послідовності еквідістантних відліків векторів відповідного безперервного базису з індексами від 0 до N/2:

(2)

Відзначимо, що тригонометричні функції унікальні в тому відношенні, що послідовності їх еквідістантних відліків (на інтервалі, рівному цілому числу періодів) взаємно ортогональні.

Еквідістантні відліки довільних ортогональних функцій не утворюють ортогональних послідовностей, відзначимо також, що часовий інтервал, займаний N відліками, узятими через Т секунд, нерівний NT секундам. Це легко зрозуміти, якщо врахувати той факт, що інтервал, на якому беруться відліки, замкнутий зліва і відкритий справа (тобто [—)). Рис. 1 ілюструє цю обставину на прикладі дискретизації парної щодо центру інтервалу функції тривалістю NТ сек.

Оскільки для ДПФ потрібна періодичність ряду, опущену останню точку послідовності можна вважати початковою точкою наступного періоду періодичного продовження цієї послідовності. Дійсно, при періодичному, продовженні наступний відлік (на 16-й секунді на мал. 1) не відрізняється від відліку в нульовий момент часу.

Вказане порушення симетрії через відсутню (але що мається на увазі) кінцеву точку є постійним джерелом помилок при виборі типу вживаного вікна. Ці помилки сходять до ранніх робіт, присвячених збіжності часткових сум рядів Фур’є. Часткові суми (або кінцеве перетворення Фур’є) завжди мають непарне число членів і володіють парною симетрією щодо початкової точки. Тому в багато яке керівництво і бібліотеки стандартних програм включені вікна, що володіють істинною парною симетрією, а не симетрією, що мається на увазі, з опущеною кінцевою точкою!

При обчисленні ДПФ дискретних даних слід пам’ятати, що парна симетрія означає, що проекція сигналу на послідовність відліків синуса тотожно рівна нулю. Але це ні в якому разі не означає, що числа відліків, розташованих справа і зліва від середньої точки, обов'язково рівні один одному. Щоб відрізняти цю симетрію від звичайної парності, будемо називати звичайну парну послідовність з опущеною крайньою правою точкою ДПФ-парною.
^ III. ПРОСОЧУВАННЯ СПЕКТРАЛЬНИХ СКЛАДОВИХ

Вибір кінцевого тимчасового інтервалу тривалістю NT секунд і ортогонального тригонометричного базису (безперервного або дискретного) на цьому інтервалі обумовлює цікаву особливість спектрального розкладання. 3 континууму можливих частот тільки співпадаючі з частотами базису будуть проектуватися на єдиний базисний вектор, а вся решта частот буде мати ненульові проекції на будь-який з векторів базисної множини. Це явище, яке звичайно називають розмиванням або просочуванням спектральних складових (spectral leakage), виникає через кінцеву тривалість оброблюваних записів. Хоча частота відліків і впливає на ступінь розмивання, сама по собі дискретизація не є його причиною.

Щоб інтуїтивно зрозуміти причину розмивання, достатньо помітити, що сигнали з частотами, відмінними від базисних, неперіодичні у вікні спостереження. Якщо природний період сигналу несумірний з тривалістю інтервалу спостереження, періодичне продовження сигналу буде мати розриви на межах інтервалу. Ці розриви дають спектральні внески на всіх базисних частотах (тобто відбувається розмивання). Види виникаючих розривів ілюструє мал. 4.



^ Рис. 4. На проміжку спостереження періодичне продовження синусоїди неперіодичне

Вікна представляють собою вагові функції, використовувані для зменшення розмивання спектральних компонент, обумовленого кінцівкою інтервалів спостереження. Так, можна вважати, що дія вікна на масив даних (як мультиплікативної вагової функції) полягає у зменшенні порядку розриву на межі періодичного продовження. Цього добиваються, погоджуючи на межі якомога більше число похідних зважених даних. Простіше всього забезпечити таке узгодження зробивши ці похідні рівними або принаймні близькими до нуля. Таким чином, поблизу меж інтервалу зважені дані плавно прямують до нуля, так що періодичне продовження сигналу виявляється безперервним аж до похідних вищих порядків.

З другого боку, можна вважати, що вікно мультиплікативно впливає на базисну множину так, щоб сигнал довільної частоти мав значні проекції тільки на ті базисні вектори, частоти яких близькі до частоти сигналу. Обидва підходи, звичайно, ведуть до однакових результатів, і ми у міру потреби будемо користуватися одним з них.

^ IV. ВІКНА І ЇХ ОСНОВНІ ПАРАМЕТРИ

В гармонійному аналізі вікна використовуються для зменшення небажаних ефектів просочування спектральних складових. Вікна впливають на багато які показники гармонійного процесора, у тому числі на можливість виявлення, роздільну здатність, динамічний діапазон, ступінь достовірно і легкість реалізованості обчислювальних операцій. Щоб мати нагоду порівнювати характеристики вікон, необхідно знати, які з їх параметрів є основними. Легше всього виявити найбільш істотні параметри, розглянувши, як впливають різні типи вікон на результати гармонійного аналізу.

Обмежений по смузі сигнал f(t) з перетворенням Фур’є F(ω) можна описати еквідістантною послідовністю відліків f (nT). Ця послідовність визначає періодично продовжений спектр NТ(ω) як його розкладання в ряд Фур’є.
^ А. Еквівалентна шумова смуга.

З рис. 6 видно, що оцінка амплітуди гармонійної компоненти на заданій частоті виявляться зміщеною через наявність широкосмугового шуму, що потрапляє в смугу пропускання вікна. В цьому сенсі вікно поводиться як фільтр, потужність сигналу на виході якого пропорційна потужності гармонік вхідного сигналу в смузі його пропускання. Для виявлення гармонійного сигналу необхідно мінімізувати накопичений шум. Цього можна досягти за допомогою вузько смугового вікна. Зручною мірою ширини смуги пропускання вікна є його еквівалентна шумова смуга (ЕШС). ЕШС вікна - це ширина смуги пропускання прямокутного фільтра з тим же максимальним посиленням його потужності, який накопичує ту ж потужність шуму, що і дане вікно (рис 7).



^ Рис. 7 Еквівалентна шумова смуга вікна
Накопичена вікном потужність шуму визначається виразом:
Потужність шуму = (8)
Де N0 - потужність шуму в одиничній смузі частот. Згідно теореми Парсеваля, величину (8) можна обчислити таким чином:
Потужність шуму = (9)
Максимальне підсилення по потужності відповідає частоті ; воно називається посиленням по потужності на нульовій частоті і визначається виразами:
Максимальне підсилення сигналу =W(0)= (10а)

Максимальне посилення по потужності = W2(0) = (10b)
Таким чином, ЕШС вікна, нормована на величину N0/T- потужність шуму на бін (одиничний часовий інтервал), може бути записана у вигляді:
(11)
^ В. Підсилення і втрати перетворення

З ЕШС вікна тісно зв'язані поняття посилення перетворення (ПП) і втрат перетворення (ВП) при обчисленні ДПФ за допомогою вікон. ДПФ можна розглядати як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів, кожен з яких налаштований на одну з гармонік комплексної синусоїдальної послідовності базисної множини [3]. З цієї точки зору ми і будемо аналізувати підсилення перетворення (зване також когерентним підсиленням) фільтра і втрати перетворення, викликані тим, що вікно згладжує, тобто зводить до нуля, величини відліків, розташованих поблизу його меж. Хай вхідна послідовність відліків задана виразом:
(12)
Де - послідовність відліків білого шуму з дисперсією . Тоді становляча сигналу в спектрі, обчисленому за допомогою вікна (тобто вихід погодженого фільтра), буде рівна:
(13)

З (13) видно, що у відсутність шуму спектральна складова пропорційна вхідній амплітуді А. Таке ж буде і математичне очікування цієї складової за наявності шуму. Коефіцієнт пропорційності рівний сумі всіх відліків дискретного вікна, а ця сума є не що інше, як посилення вікна для постійного сигналу. Для прямокутного вікна цей коефіцієнт рівний N – числу відліків у вікні. Посилення будь-якого іншого вікна менше, оскільки вагова функція поблизу меж вікна плавно спадає до нуля. Пов'язане з цим зменшення коефіцієнта пропорційності корисно знати, оскільки воно характеризує помилку (зсув) оцінок амплітуд спектральних складових. В літературі замість ПП іноді використовується інший параметр когерентне посилення по потужності, тобто квадрат когерентного підсилення сигналу. Когерентне підсилення різних вікон [отримане підсумовуванням ряду (13)], нормоване щодо нього максимально можливої величини N, вказано в табл. 1.

Некогерентна складова зваженого, тобто виконаного за допомогою вікна перетворення, обчислюється по формулі:
(14а)

а некогерентна потужність (середньоквадратичне значення цієї складової) визначається виразом:
(14b)
де Е{ } — оператор математичного очікування. Помітимо, що некогерентне посилення по потужності рівно сумі квадратів відліків вагової функції, а когерентне — квадрату суми цих відліків.

І нарешті, обчислимо ПП, яке визначається як приватне від розподілу відносин сигнал/шум на виході і на вході:
(15)
Помітимо, що ПП — це величина, зворотна нормованій ЕШС вікна. Таким чином, збільшення ЕШС вікна веде до зменшення ПП. Це цілком зрозуміло, оскільки, чим ширше смуга пропускання, тим більша потужність шуму, що пройшов через вікно, вносячого внесок в спектральну оцінку.
  1   2

Схожі:

І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\Проекту Загальнодержавної програми Здорова нація на 2012-2016 рр....
Очікувана тривалість життя при народженні в 26 країнах Європейського регіону за даними вооз складає більше 75 років, тоді як в 7...
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\Міністерство освіти І науки україни національний університет «львівська політехніка»
Диференційної називають таку ланку(див рис. 1), сигнал на виході якої має значення, пропорційні в кожний момент часу похідній від...
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\Тема Частотне представлення періодичних сигналів. Спектральна густина....
Будь-який неперіодичний сигнал (рис. 1) можна розглядати як періодичний, період зміни якого рівний нескінченності. В зв’язку з цим,...
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\Державна полiтика
Що ж можна вважати державною полiтикою стосовно мiсцевого самоврядування, або якi елементи мають обов'язково бути в її складi? ·
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\У процесі підготовки сходознавців в україні
На його думку, завдяки цьому можна надолужити все те, що було втрачене для людства в епоху нового часу. Школа повинна стояти на ґрунті...
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\Як захиститись від комарів, кліщів та інших надокучливих комах?
Збираючись на природу, одягни одяг, який тісно облягає твоє тіло. Светр повинен бути заправлений всередину; на ногах обов'язково...
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\5 Кутова модуляція гармонічного перенощика
Процес зміни одного або кількох параметрів несучого сигналу за законом зміни низькочастотного інформаційного сигналу називають модуляцією....
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\1. 15. Підсилювачі постійного струму
Корисний сигнал І сигнал перешкоди можуть мати однаковий або близький характер зміни в часі. На виході підсилювача такі сигнали додаються...
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\1. 15. Підсилювачі постійного струму
Корисний сигнал І сигнал перешкоди можуть мати однаковий або близький характер зміни в часі. На виході підсилювача такі сигнали додаються...
І. вступ кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти І регулювати, але вона обов\Урок обов’язково мусить мати зворотний зв'язок
Процес викладання – це організація цілеспрямованого І систематичного впливу вчителя на учня для досягнення конкретної педагогічної...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
nauch.com.ua
Головна сторінка