Задача 2




НазваЗадача 2
Сторінка3/8
Дата01.06.2013
Розмір1.3 Mb.
ТипЗадача
nauch.com.ua > Математика > Задача
1   2   3   4   5   6   7   8

^ ТЕОРІЯ ДВОЇСТОСТІ ТА ДВОЇСТІ ОЦІНКИ

У ЛІНІЙНОМУ ПРОГРАМУВАННІ (3)

Задача 3.1 До даної задачі лінійного програмування записати двоїсту.

max F = –5x1 + 2x2;



Розв’язання. Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція F максимізується і в системі обмежень є нерівності, то вони мусять мати знак «». Тому перше обмеження задачі помножимо на (–1). Після цього знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:

max F = –5x1 + 2x2;



Тепер за відповідними правилами складемо двоїсту задачу:

;


Задача 3.2 До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту.







Розв’язання. Пряму задачу зведемо до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція F мінімізується і в системі обмежень є нерівності, то вони мають бути виду «». Тому друге обмеження задачі необхідно помножити на (–1). При цьому знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:



Двоїста задача:







Оскільки перше обмеження початкової задачі є рівнянням, то відповідна йому змінна двоїстої задачі y1 може набувати як додатного, так і від’ємного значення.
Задача 3.3 До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язати одну з них симплекс-методом та визначити оптимальний план другої задачі, використовуючи співвідношення першої теореми двоїстості.

max Z = – 5x1 + 2x2;



Розв’язання. Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція F максимізується і в системі обмежень є нерівності, то їх слід звести до виду «». Тому перше обмеження задачі помножимо на (–1). Після цього знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:

max Z = – 5x1 + 2x2;



Тепер за відповідними правилами складемо двоїсту задачу:

min F = – y1 + 5y2;



Оскільки записані задачі симетричні, то будь-яку з них можна розв’язати симплекс-методом. Наприклад, визначимо спочатку оптимальний план прямої задачі. Для цього застосуємо алгоритм симплекс-методу.

1. max Z = – 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4;



2. Векторна форма запису системи обмежень має вигляд:

,

де , , , , .

У системі векторів для утворення початкового одиничного базису відсутній один вектор. Тому введемо штучну змінну в перше обмеження.

3. Розширена задача лінійного програмування буде такою:

max Z = – 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 – Мx5;



У цій задачі х4 та х5 — базисні змінні, а х1, х2, х3 — вільні. Нехай х1 = х2 = х3 = 0, тоді х4 = 5; х5 = 1.

Перший опорний план задачі:

X0 = (0; 0; 0; 5; 1), Z0 = – M.

4. Подальше розв’язування прямої задачі подано у вигляді симплексної таблиці:

БазисСбазПлан–5200– Мx1x2x3x4x5x5
x4М
01
51
21
3– 1
00
11
01
5/3Zjcj  00
М5
М–2
М0
М0
00
0x2
x42
01
21
–11
0–1
30
11
–3–
2/3Zjcj  0270– 202
Мx2
x32
05/3
2/32/3
–1/31
00
11/3
1/30
–1Zjcj  010/319/3002/30
МЗ останньої симплекс-таблиці запишемо оптимальний план прямої задачі:

Х* = (0; 5/3; 2/3; 0), Zmax = 10/3.

Згідно зі співвідношенням двоїстості за першою теоремою можна висновувати, що оптимальний план двоїстої задачі існує і

min F = max Z = 10/3.

Компоненти вектора Y* (оптимальний план двоїстої задачі) визначимо за формулою:

,

де та міститься в стовпчику «Cбаз» останньої симплекс-таблиці;

.

Матриця D– 1 також міститься в останній симплекс-таблиці у стовпчиках змінних «x5» та «x4», які утворювали початковий базис.

Отже,

,

min F = – 1  0 + 5  2/3 = 10/3.

Застосувавши для розв’язування прямої задачі симплекс-метод, ми знайшли її оптимальний план, а потім визначили оптимальний розв’язок двоїстої задачі за допомогою співвідношень першої теореми двоїстості.

^ Задача 3.4 До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язавши двоїсту задачу графічно, визначити оптимальний план прямої задачі.

min Z = x1 + 2x2 + 2x3;



Розв’язання. За відповідними правилами побудуємо двоїсту задачу:

mах F = y1 + 4y2;



Зауважимо, що задачі несиметричні, і тому змінна у1, що відповідає першому рівнянню в системі обмежень прямої задачі, може мати будь-який знак, а змінна у2 — лише невід’ємна.

Двоїста задача має дві змінні, а отже, її можна розв’язати графічно (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Найбільшого значення цільова функція двоїстої задачі F досягає в точці В багатокутника ABCD. Її координати визначимо розв’язанням системи рівнянь:



Отже, Y* = (– 2/3; 4/3); mах F = 1  (– 2/3) + 4  4/3 = 14/3.

Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.

Підставимо Y* у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:



Оскільки перше обмеження для оптимального плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, то висновуємо, що перша змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х1 = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).

Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Оскільки друга компонента плану у2 = 4/3 додатна, то друге обмеження прямої задачі для Х* виконуватиметься як строге рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).

Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х1 = 0, та визначити решту змінних:



тобто Х* = (0; 5/3; 2/3),

min Z = 1  0 + 2  5/3 + 2  2/3 = 14/3.

Умова min Z = max F = 14/3 виконується, і тому

Х* = (0; 5/3; 2/3); Y* = (– 2/3; 4/3)

є оптимальними планами відповідно прямої та двоїстої задач.

Задача 3.5 Визначити, чи є оптимальними такі плани сформульованої задачі лінійного програмування:

min Z = 12x1 – 4x2 + 2x3;



а) Х = (8/7; 3/7; 0); б) Х = (0; 1/5; 8/5); в) Х = (1/3; 0; 1/3).

Розв’язання. Принцип розв’язування задач такого типу ґрунтується на використанні другої теореми двоїстості. Необхідно побудувати двоїсту задачу та, допускаючи, що відповідний план Х є оптимальним, визначити оптимальний розв’язок двоїстої задачі. Якщо при цьому екстремальні значення цільових функцій будуть однаковими за величиною, то припущення правильне. Протилежне можна висновувати в таких випадках:

1. Якщо запропонований план Х недопустимий, тобто не задовольняє систему обмежень прямої задачі.

2. Якщо визначений план двоїстої задачі недопустимий, тобто не задовольняє всі обмеження двоїстої задачі.

3. Якщо визначений план двоїстої задачі допустимий, але для нього екстремальне значення цільової функції F не дорівнює значенню функції Z, тобто не виконується умова першої теореми двоїстості.

Запишемо двоїсту задачу до прямої задачі лінійного програмування:

max F = y1 + 2y2;





Перевіримо запропоновані плани на оптимальність.

1. Х = (8/7; 3/7; 0). Підставимо його в систему обмежень прямої задачі:



Обидва обмеження виконуються, і тому Х = (8/7; 3/7; 0) є допустимим планом прямої задачі. Припустимо тепер, що зазначений план є оптимальним планом прямої задачі. Тоді розрахуємо для нього величину цільової функції: Z = 12  8/7 – 4  3/7 + 2  0 = 12.

Скористаємося другою теоремою двоїстості та визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки x1 = 8/7 > 0; x2 = 3/7 > 0, то згідно з другою частиною другої теореми двоїстості можна записати перше та друге обмеження як рівняння і визначити у1 та у2:



Підставимо ці значення в третє обмеження системи двоїстої задачі:

;

.

Для визначених значень у1 = 4; у2 = 4 це обмеження не виконується, і тому відповідний план у = (4; 4) є недопустимим планом двоїстої задачі. Внаслідок цього наше допущення, що Х = (8/7; 3/7; 0) є оптимальним планом прямої задачі, виявилося помилковим.

2. Х = (0; 1/5; 8/5). Підставимо цей план у систему обмежень прямої задачі:



План допустимий, і для нього Z = 12  0 – 4  1/5 + 2  8/5 = 12/5.

Визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки компоненти x2 та x3 додатні, то друге і третє обмеження двоїстої задачі можна записати як рівняння:



Перевіримо, чи виконується перше обмеження двоїстої задачі для визначених значень у1 та у2: 2  8/5 + 2/5 = 18/5 < 12. Отже, перше обмеження виконується, і тому у = (8/5; 2/5) є допустимим планом двоїстої задачі. Для нього

F = 8/5 + 2  2/5 = 12/5 = Z.

З огляду на викладене можна висновувати, що Y* = (8/5; 2/5) є оптимальним планом двоїстої задачі, а X* = (0; 1/5; 8/5) — оптимальним планом прямої задачі.

Наше припущення відносно запропонованого плану виявилося правильним.

3. Х = (1/3; 0; 1/3). Для цього плану обмеження прямої задачі виконуються так:



Оскільки Х = (1/3; 0; 1/3) є недопустимим планом, то він не може бути також оптимальним планом прямої задачі.

Отже, перевірка запропонованих планів на оптимальність дала такі результати: а) ні; б) так, Х* = (0; 1/5; 8/5), min Z = 12/5; в) ні.

^ АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ ЕКОНОМІЧНИХ ЗАДАЧ

Задача 4.1 Деяке підприємство виробляє чотири види продукції А, В, С, і D, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2 і 3. Норми витрат ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції (в умовних одиницях) наведено в табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Норми витрат ресурсів на виробництво продукції, ум. од.

РесурсНорма витрат ресурсу на одиницю продукції видуЗапас ресурсуАВСD12524250216242803321180Відомі також ціни реалізації одиниці продукції кожного виду: для продукції А — 2 ум. од., для продукції В і D — по 4 ум. од., для продукції С — 3 ум. од.

Необхідно визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду за умов обмеженості запасів ресурсів, який дав би змогу підприємству отримати найбільшу виручку від реалізації продукції.

Розв’язання. Математичні моделі прямої (4.7) та двоїстої (4.8) задач мають такий вигляд:

(4.7)

де хj — обсяг виробництва продукції j-го виду ;

(4.8)

де yi — оцінка одиниці і-го виду ресурсу .

Симплексна таблиця, що відповідає оптимальному плану сформульованої вище задачі має вигляд:

БазисСбазПлан2434000х1х2х3х4х5х6х7х4445–21/2011/20–1х6030–1100–110х333553/210–1/202Zj – cj  028555/2001/202

Задача 4.2 Фірма виготовляє продукцію трьох видів: А, В і С. Потрібний певний час для обробки одиниці кожного виду продукції на різному обладнанні (табл. 4.2).

Таблиця 4.2

Тривалість обробки продукції, год

Тип обладнанняТривалість обробки одиниці продукції видуТривалість роботи обладнання на місяцьАВСІ124360ІІ242520ІІІ112220Ціна одиниці продукції видів А, В і С дорівнює 90 дол., 110 дол. та 150 дол. відповідно. Визначити, яку продукцію і в якому обсязі слід виготовляти, щоб фірма отримувала найбільший дохід.

Розв’язавши цю задачу симплекс-методом, отримаємо таку останню симплексну таблицю:

БазисСбазПлан90110150000х1х2х3х4х5х6х401000031–1/20х21104001–101/2–1х1901801030–1/22Fj – cj  020 600001001070Керівництво фірми цікавить відповідь на таке запитання: «Чи зміниться оптимальний план виробництва продукції і якщо зміниться, то яким буде новий оптимальний план у кожній з наведених нижче ситуацій?»

1. Фірма може збільшити тривалість роботи обладнання типів 2 та 3 відповідно на 100 і 80 год на місяць, орендуючи для цього додаткове обладнання, але орендна плата становитиме 5000 дол. Чи вигідно це? Якщо вигідно, то яким має бути новий оптимальний план виробництва продукції?

2. Фінансовий відділ фірми вважає, що загострення конкуренції на ринку збуту може призвести до зниження ціни на продукцію В на 25 дол. Як це позначиться на оптимальному плані виробництва продукції фірми?

3. Відділ досліджень і розробок фірми пропонує виготовляти дешевшу модифікацію продукції С. Тривалість обробки одиниці цієї нової продукції на обладнанні типів 1, 2 та 3 становить відповідно 4, 3 і 1 год. Орієнтовна ціна одиниці нової продукції дорівнює 120 дол. Керівництво фірми цікавить, чи буде за таких умов виробництво нової продукції вигідним.

4. Споживач продукції виду А за певних обставин порушив попередню домовленість і відмовився прийняти більш як 100 од. продукції. Визначити, як слід змінити план виробництва своєї продукції, щоб уникнути втрат, пов’язаних із надвиробництвом цього виду продукції.

Розв’язання. Із наведеної в умові задачі симплекс-таблиці маємо: Х* = (180; 40; 0; 100; 0; 0),

max F = 20600, Y* = (0; 10; 70). Оптимальним планом виробництва продукції на фірмі є випуск 180 од. продукції виду А та 40 од. продукції виду В. Виготовлення продукції виду С не передбачається. При цьому фірма отримає максимальну виручку обсягом 20600 дол. на місяць.

1. Збільшення тривалості роботи обладнання дасть змогу збільшити випуск продукції, тобто змінити оптимальний план і дохід фірми. Оскільки b1 = 0, b2 = 100, b3 = 80, то новий оптимальний план визначається так:

.

Новий план допустимий (всі хj  0), і тому оптимальні значення двоїстих оцінок зберігаються: Y* = (0; 10; 70). Приріст доходу фірми в результаті зміни оптимального плану виробництва продукції розраховується так:

max Z = b1y1 + b2y2 + b3y3 = 100 10 + 80 70 = 6600 дол.

Оскільки дохід фірми від додаткового використання обладнання груп 2 і 3 перевищує витрати на його оренду (6600 > 5000), то природно, що така тактика фірми буде вигідною. При цьому оптимальним планом виробництва стане випуск 290од. продукції виду А і 10 од. продукції виду В. Невикористаний час роботи обладнання типу І зменшиться до 50 год на місяць, а дохід фірми за відрахуванням витрат на оренду обладнання дорівнюватиме 20600 + (6600 – 5000) = 22200 дол. на місяць.

2. Зниження ціни одиниці продукції В на c2 (–25 дол.) стосується всього оцінкового рядка симплекс-таблиці, оскільки х2 є базисною змінною. Нові Fj – cj матимуть такі значення:

F3 – c3 = 10 – 1c2 = 10 + 25 = 35;

F5 – c5 = 10 + 1/2c2 = 10 – 12,5 = –2,5;

F6 – c6 = 70 – 1c2 = 70 + 25 = 95.

Якби всі здобуті оцінки задовольняли умову ZjCj  0, то це означало б, що попри зниження ціни план виробництва продукції на фірмі не зміниться. Але оцінка F5 – c5 не задовольняє умову оптимальності задачі на максимум, і тому можна висновувати, що істотне зниження ціни одиниці продукції виду В порушує визначений раніше оптимальний план виробництва продукції, оскільки випуск цієї продукції стає для фірми невигідним, нерентабельним.

Новий оптимальний план визначається у процесі подальшого розв’язання задачі симплекс-методом:

БазисСбазПлан9085150000х1х2х3х4х5х6х401000031–1/20х2854001–101/2–1х1901801030–1/22Fjcj  019 60000350–2,595х4014001210–1х508002–201–2х190220112001Fjcj  019 80005300090Отже, у розглянутій ситуації зниження ціни одиниці продук­ції виду В на 25 дол. різко змінить структуру та обсяги виробництва продукції на фірмі. Вигідним стане випуск лише продукції виду А обсягом 220 од.: при цьому можливий час роботи обладнання типів 1 та 2 використовуватиметься не повністю. Усе це призведе до зменшення виручки фірми до 19 800 дол. на місяць.

3. Обсяг виробництва нової продукції в оптимальному плані позначимо через х7. Тоді математична модель прямої задачі матиме такий вигляд:



У математичній моделі двоїстої задачі змінній х7 відповідатиме таке обмеження: . Оцінимо рентабельність виробництва нової продукції за допомогою двоїстих оцінок: 4 · 0 + 3 · 10 + 1 · 70 = 100, що є меншим за 120. Отже, загальна вартість усіх ресурсів, що витрачаються на випуск одиниці нової продукції, не перевищує орієнтовної ціни цієї продукції, і тому її виробництво для фірми є вигідним, рентабельним. Завдяки цьому визначений раніше оптимальний план виробництва продукції можна поліпшити за рахунок уведення в нього х7.

Для цього за допомогою оберненої матриці необхідно визначити елементи стовпчика «х7» останньої симплекс-таблиці:



Результати однієї ітерації симплекс-методу, що приводить до нового оптимального плану задачі, наведено нижче.

БазисСбазПлан90110150000120х1х2х3х4х5х6х7х401000031–1/205/240х21104001–101/2–11/280х1901801030–1/221/2360Fjcj  020 600001001070–20х712040006/52/5–1/501х21102001–8/5–1/53/5–10х1901601012/5–1/5–2/520Fjcj  021 400003486700Отже, оптимальним планом є Х* = (160; 20; 0; 0; 0; 0; 40), а max Z = 21 400. Керівництво фірми має підтримати пропозицію відділу досліджень та розробок і налагодити виробництво нової продукції, яка є рентабельною. Виготовляючи її обсягом 40 од., а також продукцію видів А та В обсягом 160 і 20 од. відповідно, фірма зможе збільшити обсяг виручки до 21400 дол. на місяць згідно з новим оптимальним планом виробництва продукції.

4. Четверта запропонована ситуація математично пов’язана із введенням в умову задачі додаткового обмеження, що може привести до таких наслідків:

а) нове обмеження для визначеного оптимального плану виконується. Тоді воно є надлишковим, зайвим і його включення до моделі не змінює визначеного плану;

б) нове обмеження для визначеного оптимального плану не виконується, і тоді за допомогою двоїстого симплекс-методу необхідно знайти новий оптимальний план.

За умовою задачі додатковим є обмеження х1 < 100. Але воно суперечить оптимальному обсягу продукції виду А, що дорівнює 180 од. Тому необхідно приєднати це додаткове обмеження до симплекс-таблиці та продовжити розв’язання задачі, але вже за допомогою двоїстого симплекс-методу. Для цього спочатку зведемо додаткове обмеження до канонічного вигляду:

х1 + х7 = 100.

Оскільки в оптимальному плані змінна х1 є базисною, то її необхідно записати через небазисні невідомі. Це робиться так. У симплекс-таблиці, яку наведено в умові задачі, рядок змінної «х1» подається рівнянням:

1 · х1 + 0 · х2 + 3 · х3 + 0 · х4 – 1/2 · х5 + 2 · х6 = 180.

З нього запишемо вираз для х1:

х1 = 180 – 3х3 + 1/2х5 – 2х6.

Підставивши цей вираз в додаткове обмеження, отримаємо:

180 – 3х3 + 1/2х5 – 2х6 + х7 = 100

або

– 3х3 + 1/2х5 – 2х6 + х7 = – 80.
БазисСбазПлан901101500000х1х2х3х4х5х6х7х401000031–1/200х21104001–101/2–10х1901801030–1/220х70– 8000–301/2–21Fjcj  020 6000010010700х402000010–21х2110200/301001/3–1/3–1/3х1901001000001х315080/30010–1/62/3–1/3Fjcj  061 000/3000035/3190/310/3У такому вигляді додаткове обмеження допишемо в симплекс-таблицю. Застосування двоїстого симплекс-методу приведе до нового оптимального плану задачі.
В останній таблиці маємо: Х* = (100; 200/3; 80/3; 20; 0;0), а

max Z = 61000/3  20333.

Проаналізуємо цей план. Прийнявши до уваги ситуацію, що склалася, керівництво фірми змушене змінити структуру вироб­ництва продукції. Тепер з урахуванням вимог споживача фірма виготовлятиме 100 од. продукції виду А, 200/3 од. продукції виду В і 80/3 од. продукції виду С. У результаті такого плану випуску продукції виручка фірми дещо зменшиться (до 20333 дол. на місяць).

^ Транспортна задача

Компанія контролює три фабрики А1, А2, А3, здатні виготовляти відповідно 150, 60 та 80 тис. од. продукції щотижня. Вона уклала договір із чотирма замовниками В1, В2, В3, В4, яким потрібно щотижня доставляти відповідно 110, 40, 60 та 80 тис. од. продукції. Вартість транспортування 1000 од. продукції замовникам з кожної фабрики наведена в табл. 5.10.

ФабрикаВартість транспортування
1000 од. продукції замовникуВ1В2В3В4А14425А25312А32142Визначити оптимальний план перевезень продукції від кожної фабрики до замовників, що мінімізує загальну вартість транспорт­них послуг.

^ Побудова математичної моделі. Нехай xij — кількість продук­ції, що перевозиться з і-ї фабрики до j-го замовника . Оскільки транспортна задача за умовою є збалансованою, закритою

то математична модель задачі матиме вигляд:



Економічний зміст записаних обмежень полягає в тому, що вся вироблена на фабриках продукція має вивозитися до замовників повністю.

Аналогічні обмеження можна записати відносно замовників: продукція, що може надходити до споживача від трьох фабрик, має повністю задовольняти його попит. Математично це записується так:



Загальні витрати, пов’язані з транспортуванням продукції, визначаються як сума добутків обсягів перевезеної продукції на вар­тості транспортування 1000 од. продукції до відповідного замовника і за умовою задачі мають бути мінімальними. Тому формально це можна записати так:

min Z = 4x11 + 4x12 + 2x13 + 5x14 + 5x21 + 3x22 + x23 +  2x24 +  2x31 +
x32 +4x33 +2x34.

Загалом математична модель сформульованої задачі має
вигляд:

min Z = 4x11 + 4x12 + 2x13 + 5x14 + 5x21 + 3x22 + x23 + 2x24 + 2x31 + x32 +
+ 4x33 +2x34

за умов:





^ Методи побудови опорного планц транспортної задачі.

Ідея методу північно-західного кута полягає в тому, що заповнення таблиці починають, не враховуючи вартостей перевезень, з лівого верхнього (північно-західного) кута.

Спочатку, не враховуючи вартості перевезень, завжди задовольняють потреби першого споживача В1, використовуючи запаси першого постачальника А1.

У нашому прикладі (табл. 5.2) потреби споживача В1 становлять = 110, а запаси постачальника — = 150 одиниць (тобто із запасів першого постачальника можна повністю задовольнити потреби першого споживача), тому в клітинку А1В1 записуємо менше із значень , , тобто 110.

Тепер потреби першого споживача повністю задоволені, і переходимо до задоволення потреб наступного (другого) споживача В2. Обсяг його потреб = 50. Після задоволення потреб першого споживача залишок запасів першого постачальника становить 150 –
– 110 = 40. Отже, від першого виробника другому споживачеві можна перевезти лише 40 одиниць продукції, тому в клітину А1В2 записуємо число 40.

Після цього, оскільки запаси першого постачальника повністю вичерпані, переходимо до використання запасів наступного постачальника А2. Його запаси  = 60, а незадоволені потреби другого споживача 50 – 40 = 10, тому в клітинку А2В2 записуємо число 10, і другий споживач у такий спосіб також повністю отримав необхідну кількість продукції. Переходимо до задоволення потреб наступного споживача В3.

У результаті часткового використання запасів другого постачальника його залишок продукції становить 60 – 10 = 50. Отже, від другого виробника до третього споживача можна перевезти 50 одиниць продукції. Клітинка А2В3 міститиме зазначене число 50, і цим запаси постачальника А2 будуть повністю вичерпані.
1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

Задача 2 iconЗадача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами....
Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як І для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими...

Задача 2 iconЗадача їхньої систематизації ставала усе більш насущною. Ця задача була
В міру нагромадження знань про світ задача їхньої систематизації ставала усе більш насущною. Ця задача була виконана одним з найбільших...

Задача 2 iconЗадача їхньої систематизації ставала усе більш насущною. Ця задача була
В міру нагромадження знань про світ задача їхньої систематизації ставала усе більш насущною. Ця задача була виконана одним з найбільших...

Задача 2 iconЗадача Ньютона Задача Ньютона Розглянемо таку задачу. Задача
Задача На дні озера б’ють із постійною швидкістю джерела. Стадо з 25 слонів може випити це озеро за 6 днів, а стадо з 18 слонів –...

Задача 2 iconКонкурсне завдання Тема: «з різдвом Христовим!». Задача
Задача: Створити художню композицію, яка відображатиме народні традиції святкування Різдва

Задача 2 iconРеферат по фізиці Механіка від Аристотеля до
В міру нагромадження знань про світ задача їхньої систематизації ставала усе більш насущною. Ця задача була виконана одним з найбільших...

Задача 2 iconЗадача 11
Задача Виконати дії у показниковій формі. Представити результат в алгебраїчній формі

Задача 2 iconДо районної програми протидії захворюванню на туберкульоз у Славутському...
...

Задача 2 iconЗадача знаходження розв'язку системи лінійних нерівностей відіграє...

Задача 2 iconЗадача Коші задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови
Основні поняття І означення, теорема про достатні умови існування І єдності розв’язку

Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
nauch.com.ua
Головна сторінка